5. В единичном кубе \(ABCD A_1B_1C_1D_1\) найдите расстояние от точки A до плоскости \((BD A_1)\).

Зададим координаты вершин единичного куба: \(A(0;0;0)\), \(B(1;0;0)\), \(D(0;1;0)\), \(A_1(0;0;1)\).

Плоскость через точки \(B,D,A_1\) имеет уравнение \(x+y+z=1\): каждая из этих точек ему удовлетворяет.

Расстояние от \(A(0;0;0)\) до этой плоскости равно \(\frac{|0+0+0-1|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\).

Ответ: \(\frac{1}{\sqrt{3}}\).