№4. Найти значение выражения \( \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{2}-1} + \frac{1}{1+\sqrt{2}} \)

Краткая запись:

• Найти значение выражения: \( rac{1}{√3} + rac{1}{√2-√3} + rac{1}{√2-1} + rac{1}{1+√2} \)

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Рационализируем первый член: \( rac{1}{√3} = rac{1 · √3}{√3 · √3} = rac{√3}{3} \).
2. Шаг 2: Рационализируем второй член: \( rac{1}{√2-√3} = rac{1 · (√2+√3)}{(√2-√3)(√2+√3)} = rac{√2+√3}{(√2)^2 - (√3)^2} = rac{√2+√3}{2-3} = rac{√2+√3}{-1} = -(√2+√3) = -√2-√3 \).
3. Шаг 3: Рационализируем третий член: \( rac{1}{√2-1} = rac{1 · (√2+1)}{(√2-1)(√2+1)} = rac{√2+1}{(√2)^2 - 1^2} = rac{√2+1}{2-1} = rac{√2+1}{1} = √2+1 \).
4. Шаг 4: Четвертый член уже имеет знаменатель \( 1+√2 \), что то же самое, что \( √2+1 \).
5. Шаг 5: Теперь сложим все рационализированные члены: \( rac{√3}{3} + (-√2-√3) + (√2+1) + rac{1}{√2+1} \).
6. Шаг 6: Обратим внимание, что член \( rac{1}{√2+1} \) равен \( rac{1}{√2+1} = rac{1 · (√2-1)}{(√2+1)(√2-1)} = rac{√2-1}{2-1} = √2-1 \).
7. Шаг 7: Подставим это значение обратно: \( rac{√3}{3} - √2 - √3 + √2 + 1 + √2 - 1 \).
8. Шаг 8: Приведем подобные члены: \( (rac{√3}{3} - √3) + (-√2 + √2 + √2) + (1 - 1) \).
9. Шаг 9: Вычислим: \( rac{√3 - 3√3}{3} + √2 + 0 = rac{-2√3}{3} + √2 \).

Ответ: √2 - rac{2√3}{3}