4. (ОБЗ) Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $$\varphi = \omega t + \frac{\beta t^2}{2}$$, где $$t$$ - время в минутах, прошедшее после начала работы лебёдки, $$\omega = 20$$ град./мин - начальная угловая скорость вращения катушки, а $$\beta = 8$$ град./мин$$^2$$ - угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время, прошедшее после начала работы лебёдки, если известно, что за это время угол намотки $$\varphi$$ достиг 4200°. Ответ дайте в минутах.

Решение: 1. **Запишем уравнение для угла поворота:** $$\varphi = \omega t + \frac{\beta t^2}{2}$$ 2. **Подставим известные значения:** $$4200 = 20t + \frac{8t^2}{2}$$ $$4200 = 20t + 4t^2$$ 3. **Преобразуем уравнение к квадратному виду:** $$4t^2 + 20t - 4200 = 0$$ $$t^2 + 5t - 1050 = 0$$ (Разделим на 4) 4. **Решим квадратное уравнение:** Дискриминант $$D = 5^2 - 4 * 1 * (-1050) = 25 + 4200 = 4225$$ $$t_1 = \frac{-5 + \sqrt{4225}}{2} = \frac{-5 + 65}{2} = \frac{60}{2} = 30$$ $$t_2 = \frac{-5 - \sqrt{4225}}{2} = \frac{-5 - 65}{2} = \frac{-70}{2} < 0$$ (отрицательное время не имеет смысла) **Ответ:** 30 минут. **Развёрнутый ответ для школьника:** Представь, что катушка наматывает кабель. Нам нужно узнать, через сколько минут угол намотки достигнет 4200 градусов. У нас есть формула, которая описывает изменение угла. Подставляем известные значения в формулу и получаем квадратное уравнение. У этого уравнения два решения, но одно из них отрицательное, что не имеет смысла (время не может быть отрицательным). Второе решение – 30 минут. Значит, катушка намотает кабель на угол 4200 градусов за 30 минут.