6. (ОБЗ) В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону $$H(t) = at^2 + bt + H_0$$, где $$H_0 = 8$$ м - начальный уровень воды, $$a = \frac{1}{72}$$ м/мин$$^2$$ и $$b = -\frac{2}{3}$$ м/мин - постоянные, $$t$$ - время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

Решение: 1. **Запишем уравнение для высоты столба воды:** $$H(t) = at^2 + bt + H_0$$ 2. **Подставим известные значения:** $$H(t) = \frac{1}{72}t^2 - \frac{2}{3}t + 8$$ 3. **Вода вытечет, когда высота столба станет равна нулю:** $$0 = \frac{1}{72}t^2 - \frac{2}{3}t + 8$$ 4. **Решим квадратное уравнение:** Умножим обе части на 72, чтобы избавиться от дробей: $$0 = t^2 - 48t + 576$$ Это полный квадрат: $$(t - 24)^2 = 0$$ $$t = 24$$ **Ответ:** 24 минуты. **Развёрнутый ответ для школьника:** Представь, что у тебя есть бак с водой, и ты открываешь кран. Вода начинает вытекать, и высота воды в баке уменьшается. Нам нужно узнать, через сколько минут бак опустеет. У нас есть формула, которая описывает, как меняется высота воды со временем. Чтобы узнать, когда бак опустеет, нужно приравнять высоту к нулю и решить квадратное уравнение. В этом случае уравнение оказывается полным квадратом, и у нас получается одно решение: 24 минуты. Значит, бак опустеет через 24 минуты.