7. (ОБЗ) Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально. На исследуемом интервале температура вычисляется по формуле $$T(t) = T_0 + bt + at^2$$, где $$t$$ - время в минутах, $$T_0 = 800$$ K, $$a = -25$$ K/мин$$^2$$, $$b = 325$$ К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1800 K прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

Решение:

1. **Запишем уравнение для температуры:**
$$T(t) = T_0 + bt + at^2$$

2. **Подставим известные значения:**
$$T(t) = 800 + 325t - 25t^2$$

3. **Составим неравенство:**
$$T(t) \leq 1800$$
$$800 + 325t - 25t^2 \leq 1800$$

4. **Преобразуем неравенство к виду квадратного:**
$$-25t^2 + 325t - 1000 \leq 0$$
$$t^2 - 13t + 40 \geq 0$$ (Разделим на -25 и поменяем знак)

5. **Решим квадратное уравнение:**
$$t^2 - 13t + 40 = 0$$
Дискриминант $$D = (-13)^2 - 4 * 1 * 40 = 169 - 160 = 9$$
$$t_1 = \frac{13 + \sqrt{9}}{2} = \frac{13 + 3}{2} = \frac{16}{2} = 8$$
$$t_2 = \frac{13 - \sqrt{9}}{2} = \frac{13 - 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

6. **Решим неравенство:**
Так как $$t^2 - 13t + 40 \geq 0$$, парабола направлена вверх, значит решением будет $$t \leq 5$$ или $$t \geq 8$$.
Нам нужно наибольшее время до того, как температура превысит 1800 K, то есть первый момент времени, когда это происходит. Это соответствует меньшему корню.

**Ответ:** 5 минут.

**Развёрнутый ответ для школьника:**

Представь, что у тебя есть прибор, который нагревается. Если он нагреется слишком сильно, он сломается. Нам нужно узнать, через сколько минут нужно выключить прибор, чтобы он не перегрелся. У нас есть формула, которая описывает изменение температуры со временем. Составляем неравенство, чтобы температура не превышала 1800 градусов. Решаем это неравенство, и получаем два решения. Поскольку нам нужно найти наибольшее время до того, как температура превысит 1800 K, то берем меньший корень. Значит, нужно выключить прибор через 5 минут.