5. Зависимость объёма спроса $$q$$ (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены $$p$$ (тыс. руб.) задаётся формулой $$q = 50 - 5p$$. Выручка предприятия за месяц $$r$$ (в тыс. руб.) вычисляется по формуле $$r(p) = q \cdot p$$. Определите наибольшую цену $$p$$, при которой месячная выручка $$r(p)$$ составит не менее 105 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

Решение: 1. **Запишем формулу для выручки:** $$r(p) = q \cdot p = (50 - 5p) \cdot p = 50p - 5p^2$$ 2. **Составим неравенство:** $$r(p) \geq 105$$ $$50p - 5p^2 \geq 105$$ 3. **Преобразуем неравенство к виду квадратного:** $$5p^2 - 50p + 105 \leq 0$$ $$p^2 - 10p + 21 \leq 0$$ (Разделим на 5) 4. **Решим квадратное уравнение:** $$p^2 - 10p + 21 = 0$$ Дискриминант $$D = (-10)^2 - 4 * 1 * 21 = 100 - 84 = 16$$ $$p_1 = \frac{10 + \sqrt{16}}{2} = \frac{10 + 4}{2} = \frac{14}{2} = 7$$ $$p_2 = \frac{10 - \sqrt{16}}{2} = \frac{10 - 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ 5. **Решим неравенство:** Так как $$p^2 - 10p + 21 \leq 0$$, парабола направлена вверх, значит решением будет интервал между корнями: $$3 \leq p \leq 7$$. Нам нужна наибольшая цена, значит $$p = 7$$. **Ответ:** 7 тыс. руб. **Развёрнутый ответ для школьника:** Представь, что ты продаёшь товар, и тебе нужно определить цену, чтобы заработать не меньше 105 тысяч рублей. У тебя есть формула, которая связывает цену товара и количество, которое у тебя купят. Сначала ты находишь формулу для выручки, умножая цену на количество. Потом составляешь неравенство, чтобы выручка была больше или равна 105 тысячам. Решаешь это неравенство, и получаешь диапазон цен, при которых ты заработаешь достаточно. Нам нужна наибольшая цена из этого диапазона, чтобы заработать как можно больше, значит, ответ 7 тысяч рублей.