4. Одна из сторон параллелограмма равна его диагонали, а один из углов параллелограмма равен 150°. Найдите площадь параллелограмма, если длина меньшей диагонали равна 24 см.

Обозначим стороны параллелограмма через \(a\) и \(b\), а угол между ними через 150°. Тогда квадрат меньшей диагонали равен \(a^2+b^2-2ab\cos150°=a^2+b^2+\sqrt3ab\) или, с учётом того, что меньшая диагональ соответствует знаку «плюс» при косинусе, \(a^2+b^2-\sqrt3ab\).

Если сторона равна меньшей диагонали 24 см, например \(a=24\), то \(24^2=24^2+b^2-\sqrt3\cdot24b\). Отсюда \(b(b-24\sqrt3)=0\), а для невырожденного параллелограмма \(b=24\sqrt3\).

Площадь равна \(S=ab\sin150°=24\cdot24\sqrt3\cdot\frac12=288\sqrt3\text{ см}^2\).

Сторона не может быть равна большей диагонали: квадрат большей диагонали больше квадрата любой стороны при угле 150°.

Ответ: \(288\sqrt3\text{ см}^2\).