5. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) биссектриса угла B делит катет AC в отношении 5:3, считая от точки A. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника, если AC = 12.

Пусть биссектриса пересекает AC в точке D. По условию \(AD:DC=5:3\), а по теореме о биссектрисе \(AB:BC=5:3\).

Так как \(AC=12\), получаем \(AD=12\cdot\frac58=7,5\), \(DC=12\cdot\frac38=4,5\). Положим \(AB=5k\), \(BC=3k\). По теореме Пифагора: \((5k)^2=12^2+(3k)^2\), откуда \(16k^2=144\), \(k=3\). Значит, гипотенуза \(AB=15\).

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы: \(R=15:2=7,5\).

Ответ: 7,5.