4. Одна сторона треугольника на 10 см больше другой, а угол между ними равен 120°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 35 см.

Пусть меньшая из двух сторон, образующих угол 120°, равна \(x\) см. Тогда вторая равна \(x+10\) см, а сторона напротив угла 120° равна 35 см.

По теореме косинусов:

\(35^2=x^2+(x+10)^2-2x(x+10)\cos120^\circ\).

Поскольку \(\cos120^\circ=-\frac12\), получаем:

\(1225=x^2+(x+10)^2+x(x+10)=3x^2+30x+100\).

\(3x^2+30x-1125=0\), или \(x^2+10x-375=0\). Корни: \(x=15\) и \(x=-25\). Отрицательная длина не подходит, значит, стороны равны 15 см и 25 см.

Периметр: \(15+25+35=75\) см.

Ответ: 75 см.