6. Две стороны треугольника равны 7 см и 9 см, а медиана, проведённая к третьей стороне, — √61 см. Найдите неизвестную сторону треугольника.

Пусть третья сторона равна \(c\), а медиана к ней — \(m_c=\sqrt{61}\) см. По теореме Аполлония:

\(m_c^2=\frac{2\cdot7^2+2\cdot9^2-c^2}{4}\).

Подставим длину медианы:

\(61=\frac{98+162-c^2}{4}\), откуда \(244=260-c^2\), поэтому \(c^2=16\).

Длина стороны положительна, значит, \(c=4\) см. Проверка неравенства треугольника: \(7+4>9\).

Ответ: 4 см.