4. Одна сторона треугольника на 2 см меньше другой, а угол между ними равен 120°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 19 см.

Пусть одна из сторон, образующих угол 120°, равна \(x\) см, тогда другая равна \(x+2\) см. По теореме косинусов:

\(19^2=x^2+(x+2)^2-2x(x+2)\cos120^\circ\).

Так как \(\cos120^\circ=-\frac12\), имеем:

\(361=x^2+(x+2)^2+x(x+2)=3x^2+6x+4\).

\(3x^2+6x-357=0\), или \(x^2+2x-119=0\).

\(x=-1+2\sqrt{30}\) см. Отрицательный корень не подходит.

Периметр:

\(P=x+(x+2)+19=2x+21=19+4\sqrt{30}\) см.

Ответ: \(19+4\sqrt{30}\) см.