4. Одна сторона треугольника на 4 см больше другой, а угол между ними равен 60°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 14 см.

Пусть меньшая из двух сторон равна \(x\) см, тогда другая равна \(x+4\) см. По теореме косинусов для стороны 14 см:

\(14^2=x^2+(x+4)^2-2x(x+4)\cos60^\circ\).

Так как \(\cos60^\circ=\frac12\), получаем \(196=x^2+4x+16\), то есть \(x^2+4x-180=0\).

Корни уравнения: \(x=-2\pm2\sqrt{46}\). Длина положительна, поэтому \(x=-2+2\sqrt{46}\), а вторая сторона равна \(2+2\sqrt{46}\) см.

Периметр: \(P=14+(-2+2\sqrt{46})+(2+2\sqrt{46})=14+4\sqrt{46}\) см.

Ответ: \(14+4\sqrt{46}\) см.