4. Определение НОД. Алгоритм нахождения НОД. Пример нахождения НОД через разложение на простые множители. Определение взаимно простых чисел. Пример. Применение НОД для сокращения дробей на примере. Свойства НОД с примерами.

НОД нескольких натуральных чисел — наибольшее натуральное число, на которое каждое из них делится без остатка.

Алгоритм разложения: разложить числа на простые множители; выбрать общие простые множители с наименьшими показателями; перемножить их.

Пример: \(60=2^2\cdot3\cdot5\), \(84=2^2\cdot3\cdot7\). Общая часть — \(2^2\cdot3\), поэтому \(\operatorname{НОД}(60,84)=12\).

Числа называются взаимно простыми, если их НОД равен 1. Например, 8 и 15 взаимно просты: общих простых множителей у них нет.

Сокращение дроби: делим числитель и знаменатель на их НОД. Например, \(\frac{42}{56}=\frac{42:14}{56:14}=\frac{3}{4}\).

Свойства: \(\operatorname{НОД}(a,b)=\operatorname{НОД}(b,a)\); \(\operatorname{НОД}(a,1)=1\); если \(a\) делится на \(b\), то \(\operatorname{НОД}(a,b)=b\) (например, \(\operatorname{НОД}(24,8)=8\)); умножение обоих чисел на одно и то же натуральное число умножает НОД на это число: \(\operatorname{НОД}(18,30)=6\), а \(\operatorname{НОД}(36,60)=12\).