5. Определение НОК. Алгоритм нахождения НОК. Пример нахождения НОК через разложение на простые множители. Применение НОК для нахождения наименьшего общего знаменателя дробей. Свойства НОК с примерами.

НОК нескольких натуральных чисел — наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из них.

Алгоритм разложения: разложить числа на простые множители; взять каждый встречающийся простой множитель с наибольшим показателем; перемножить полученные степени.

Пример: \(18=2\cdot3^2\), \(30=2\cdot3\cdot5\). Тогда \(\operatorname{НОК}(18,30)=2\cdot3^2\cdot5=90\).

Общий знаменатель: НОК знаменателей служит наименьшим общим знаменателем. Например, для \(\frac{1}{6}\) и \(\frac{1}{8}\): \(\operatorname{НОК}(6,8)=24\), поэтому \(\frac{1}{6}=\frac{4}{24}\), \(\frac{1}{8}=\frac{3}{24}\).

Свойства: \(\operatorname{НОК}(a,b)=\operatorname{НОК}(b,a)\); если \(a\) делится на \(b\), то \(\operatorname{НОК}(a,b)=a\) (например, \(\operatorname{НОК}(12,4)=12\)); для натуральных \(a,b\): \(\operatorname{НОД}(a,b)\cdot\operatorname{НОК}(a,b)=a\cdot b\). Например, \(6\cdot90=18\cdot30=540\).