4. Основания трапеции равны 9 и 54, одна из боковых сторон равна 27, а косинус угла между ней и одним из оснований равен √65 / 9. Найдите площадь трапеции.

Площадь трапеции вычисляется по формуле S = ((a + b) / 2) * h. Известны основания a = 9, b = 54. Необходимо найти высоту h. Пусть боковая сторона c = 27. Косинус угла между боковой стороной и основанием cos(α) = √65 / 9. Синус угла sin(α) = √(1 - cos^2(α)) = √(1 - (√65 / 9)^2) = √(1 - 65/81) = √(16/81) = 4/9. Высота трапеции h = c * sin(α) = 27 * (4/9) = 12. Теперь найдем площадь: S = ((9 + 54) / 2) * 12 = (63 / 2) * 12 = 63 * 6 = 378.