4. Отрезки AB и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и AC равны; б) хорды AD и BC равны; в) ∠BAD = ∠BCD.

Рассмотрим треугольники ABD и CBA. Так как AB и CD — диаметры одной окружности, то \(AB=CD\). Кроме того, \(AD=BC\) как хорды, стягивающие равные центральные углы, и \(BD=AC\) по той же причине: поворот на 180° переводит A в B, а C в D и сохраняет длины хорд.

1. Из указанного соответствия сразу следует \(BD=AC\).
2. Аналогично, \(AD=BC\).
3. Углы \(\angle BAD\) и \(\angle BCD\) являются вписанными и опираются на одну и ту же дугу BD. Поэтому они равны.

Ответ: а) BD = AC; б) AD = BC; в) ∠BAD = ∠BCD.