4. Периметр трапеции, описанной вокруг окружности ABCD (BC и AD – основания) равен 60. Найти длину основания AD, если AD больше BC в два раза.

Задание 4. Трапеция, описанная вокруг окружности

Дано:

• Трапеция ABCD, описанная вокруг окружности.
• BC и AD — основания.
• Периметр P = 60.
• AD = 2 * BC.

Найти: длину основания AD.

Решение:

1. Свойство описанной трапеции: сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. \( BC + AD = AB + CD \)
2. Так как трапеция описана вокруг окружности, она равнобедренная, то есть AB = CD.
3. Из свойства следует: \( BC + AD = 2 × AB \)
4. Периметр трапеции: \( P = BC + AD + AB + CD = 2(BC + AD) \)
5. Мы знаем, что P = 60, поэтому: \[ 2(BC + AD) = 60 \]
6. Отсюда сумма оснований: \[ BC + AD = 30 \]
7. Нам дано, что AD = 2 * BC. Подставим это в уравнение суммы оснований: \[ BC + 2 × BC = 30 \]
8. Решим для BC: \[ 3 × BC = 30 \] \[ BC = 10 \]
9. Теперь найдем AD: \[ AD = 2 × BC = 2 × 10 = 20 \]

Ответ: 20.