6*. R = 16, r = 9. Найдите длину AB и площадь трапеции AO1O2B.

Задание 6. Описанная трапеция с окружностями

Дано:

• Трапеция AO₁O₂B.
• O₁ — центр большей окружности, R = 16.
• O₂ — центр меньшей окружности, r = 9.
• Окружности касаются внешне и касаются нижнего основания трапеции.
• AO₁ и BO₂ — боковые стороны трапеции.

Найти:

• Длину AB (верхнее основание).
• Площадь трапеции AO₁O₂B.

Решение:

1. Длина AB:
   Так как окружности касаются нижнего основания, то радиусы, проведенные к точке касания, перпендикулярны этому основанию. Таким образом, высота трапеции равна сумме радиусов: \( h = R + r = 16 + 9 = 25 \).
   Проведем из O₁ перпендикуляр к O₂B. Получится прямоугольный треугольник с катетами \( h = 25 \) и \( R - r = 16 - 9 = 7 \).
   По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы, которая равна боковой стороне трапеции:
   \[ AO₁^2 = h^2 + (R - r)^2 = 25^2 + 7^2 = 625 + 49 = 674 \]
   \[ AO₁ = \sqrt{674} \]
2. Площадь трапеции:
   Для нахождения площади трапеции нам нужно знать сумму оснований. Свойство описанной трапеции: сумма оснований равна сумме боковых сторон.
   \[ AB + O₁O₂ = 2 × AO₁ \]
   Длина отрезка O₁O₂ равна сумме радиусов, так как окружности касаются: \( O₁O₂ = R + r = 16 + 9 = 25 \).
   Теперь найдем AB:
   \[ AB + 25 = 2 × \sqrt{674} \]
   \[ AB = 2× \sqrt{674} - 25 \]
3. Площадь трапеции:\[ S = \frac{AB + O₁O₂}{2} × h \]
   \[ S = \frac{(2× \sqrt{674} - 25) + 25}{2} × 25 \]
   \[ S = \frac{2× \sqrt{674}}{2} × 25 \]
   \[ S = 25 \u00D7 \sqrt{674} \]

Ответ:

• Длина AB: \( 2× \sqrt{674} - 25 \).
• Площадь трапеции: \( 25 \u00D7 \sqrt{674} \).