4. Площадь прямоугольного треугольника равна 32√3/3. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Пусть прилежащий к углу \(30^\circ\) катет равен \(x\). Тогда противолежащий катет равен \(x\tan30^\circ=\frac{x}{\sqrt3}\).

По формуле площади:

\(\frac12\cdot x\cdot\frac{x}{\sqrt3}=\frac{32\sqrt3}{3}\).

Умножая обе части на \(2\sqrt3\), получаем \(x^2=64\), откуда \(x=8\).

Ответ: 8.