4. Постройте график функции y = |4x − x²|. При каком значении m прямая y=m имеет с графиком три общие точки?

Сначала рассмотрим знак выражения под модулем: \(4x-x^2=x(4-x)\) неотрицательно при \(0≤x≤4\) и отрицательно вне этого промежутка. Поэтому

\[y=\begin{cases}x^2-4x,&x<0\text{ или }x>4,\\4x-x^2,&0≤x≤4.\end{cases}\]

Ключевые точки графика: \((0;0)\), \((2;4)\), \((4;0)\). Между нулями график — дуга параболы с вершиной \((2;4)\); снаружи — две ветви, направленные вверх.

При \(0<m<4\) горизонтальная прямая пересекает график в четырёх точках, при \(m>4\) — в двух. При \(m=4\) она проходит через вершину внутренней дуги и пересекает каждую внешнюю ветвь ещё по разу, то есть имеет три общие точки. При \(m=0\) общих точек две.

Ответ: \(m=4\).