4. Постройте график функции y=|x|+|x-5x|. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Для начала упростим функцию: \( y = |x| + |x-5x| \).

Если \( x \ge 0 \), то \( |x| = x \).

Если \( x < 0 \), то \( |x| = -x \).

Рассмотрим два случая для \( |x-5x| \):

1. Если \( x-5x \ge 0 \), то есть \( -4x \ge 0 \), что означает \( x \le 0 \). В этом случае \( |x-5x| = x-5x = -4x \).
2. Если \( x-5x < 0 \), то есть \( -4x < 0 \), что означает \( x > 0 \). В этом случае \( |x-5x| = -(x-5x) = -x+5x = 4x \).

Теперь объединим условия:

• Случай 1: \( x \le 0 \). Тогда \( y = |x| + |x-5x| = -x + (-4x) = -5x \).
• Случай 2: \( x > 0 \). Тогда \( y = |x| + |x-5x| = x + 4x = 5x \).

Таким образом, функция принимает вид:

\( y = \begin{cases} -5x, & x \le 0 \\ 5x, & x > 0 \end{cases} \)

Это эквивалентно \( y = 5|x| \).

График функции \( y = 5|x| \) представляет собой «галочку» с вершиной в начале координат (0,0). Ветви графика направлены вверх.

Прямая \( y = m \) — это горизонтальная прямая.

Чтобы прямая \( y = m \) имела с графиком \( y = 5|x| \) ровно две общие точки, она должна проходить выше вершины графика, то есть \( m > 0 \).

Ответ: При \( m > 0 \).