Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Рассмотрим функцию \( y = |x|(x-1) - 4x \). Нужно рассмотреть два случая в зависимости от знака \( |x| \).
Случай 1: \( x ≥ 0 \)
В этом случае \( |x| = x \), и функция принимает вид:
\( y = x(x-1) - 4x \)
\( y = x^2 - x - 4x \)
\( y = x^2 - 5x \)
Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:
\( x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2} = 2.5 \)
\( y_в = (2.5)^2 - 5(2.5) = 6.25 - 12.5 = -6.25 \)
Вершина параболы находится в точке \( (2.5, -6.25) \).
Случай 2: \( x < 0 \)
В этом случае \( |x| = -x \), и функция принимает вид:
\( y = -x(x-1) - 4x \)
\( y = -x^2 + x - 4x \)
\( y = -x^2 - 3x \)
Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы:
\( x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot (-1)} = -\frac{3}{2} = -1.5 \)
\( y_в = -(-1.5)^2 - 3(-1.5) = -(2.25) + 4.5 = -2.25 + 4.5 = 2.25 \)
Вершина параболы находится в точке \( (-1.5, 2.25) \).
Теперь построим график, объединив обе части.
График состоит из двух частей параболы:
- При \( x ≥ 0 \) — часть параболы \( y = x^2 - 5x \) с вершиной в \( (2.5, -6.25) \).
- При \( x < 0 \) — часть параболы \( y = -x^2 - 3x \) с вершиной в \( (-1.5, 2.25) \).
Нас интересует, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) (горизонтальная линия) пересекает график ровно два раза.
Рассмотрим значения \( y \) на графике:
- Для \( y = x^2 - 5x \) при \( x ≥ 0 \), минимальное значение \( y = -6.25 \) (в вершине).
- Для \( y = -x^2 - 3x \) при \( x < 0 \), максимальное значение \( y = 2.25 \) (в вершине).
Исходя из графика:
- Если \( m > 2.25 \), прямая \( y = m \) не пересекает график.
- Если \( m = 2.25 \), прямая \( y = m \) пересекает график в одной точке (вершина второй параболы).
- Если \( -6.25 < m < 2.25 \), прямая \( y = m \) пересекает график в двух точках (по одной от каждой ветви).
- Если \( m = -6.25 \), прямая \( y = m \) пересекает график в двух точках (вершина первой параболы и одна точка на второй ветви).
- Если \( m < -6.25 \), прямая \( y = m \) пересекает график в одной точке (на второй ветви).
Нам нужно, чтобы прямая \( y = m \) имела ровно две общие точки.
Это происходит, когда \( m \) находится в интервале \( (-6.25, 2.25) \) или когда \( m = -6.25 \) (так как в этом случае получается две точки).
Ответ: При \( m ∈ (-6.25; 2.25) \) или \( m = -6.25 \).
