6. Постройте график функции y=x²-|6x+7| и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.

Для построения графика функции \( y = x^2 - |6x+7| \) нужно рассмотреть два случая в зависимости от знака выражения под модулем.

Случай 1: \( 6x + 7 ≥ 0 \)

Это условие выполняется, когда \( 6x ≥ -7 \), то есть \( x ≥ -\frac{7}{6} \).

В этом случае \( |6x+7| = 6x+7 \), и функция принимает вид:

\( y = x^2 - (6x+7) \)

\( y = x^2 - 6x - 7 \)

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину:

\( x_в = -\frac{-6}{2 · 1} = 3 \)

\( y_в = (3)^2 - 6(3) - 7 = 9 - 18 - 7 = -16 \)

Вершина находится в точке \( (3, -16) \).

Случай 2: \( 6x + 7 < 0 \)

Это условие выполняется, когда \( x < -\frac{7}{6} \).

В этом случае \( |6x+7| = -(6x+7) = -6x - 7 \), и функция принимает вид:

\( y = x^2 - (-6x - 7) \)

\( y = x^2 + 6x + 7 \)

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину:

\( x_в = -\frac{6}{2 · 1} = -3 \)

\( y_в = (-3)^2 + 6(-3) + 7 = 9 - 18 + 7 = -2 \)

Вершина находится в точке \( (-3, -2) \).

График функции состоит из двух частей парабол:

• При \( x ≥ -\frac{7}{6} \) — часть параболы \( y = x^2 - 6x - 7 \) с вершиной в \( (3, -16) \).
• При \( x < -\frac{7}{6} \) — часть параболы \( y = x^2 + 6x + 7 \) с вершиной в \( (-3, -2) \).

Теперь определим, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) (горизонтальная линия) пересекает график ровно три раза.

Рассмотрим значения \( y \) на графике:

• Максимальное значение \( y \) в области \( x < -\frac{7}{6} \) достигается в вершине \( (-3, -2) \), то есть \( y = -2 \).
• Минимальное значение \( y \) в области \( x ≥ -\frac{7}{6} \) достигается в вершине \( (3, -16) \), то есть \( y = -16 \).

Значение \( x = -\frac{7}{6} \) является точкой