4. При каких значениях переменной имеет смысл выражение \(\frac{x+7}{2x^2 - x - 6}\)?

Задание 4. Определение области допустимых значений

Выражение имеет смысл, когда знаменатель не равен нулю. Нам нужно найти такие значения $$x$$, при которых $$2x^2 - x - 6 \neq 0$$.

Сначала найдем корни квадратного уравнения $$2x^2 - x - 6 = 0$$. Можно использовать дискриминант.

Коэффициенты: $$a=2$$, $$b=-1$$, $$c=-6$$.

Дискриминант $$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(2)(-6) = 1 + 48 = 49$$.

Корни уравнения:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ x_1 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2 \]

\[ x_2 = \frac{1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 7}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5 \]

Значит, знаменатель обращается в ноль при $$x=2$$ и $$x=-1.5$$. Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $$x$$, кроме этих двух.

Ответ: $$x \neq 2$$ и $$x \neq -1.5$$.