4. При каких значениях переменной $$x$$ имеет смысл выражение $$\frac{x+7}{2x^2-x-6}$$?

Решение:

Дробь имеет смысл, когда знаменатель не равен нулю. Найдем значения $$x$$, при которых знаменатель равен нулю:

$$2x^2 - x - 6 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1,5$$

Значит, знаменатель равен нулю при $$x=2$$ и $$x=-1,5$$. Следовательно, выражение имеет смысл при всех $$x$$, кроме этих значений.

Ответ: $$x \neq 2$$ и $$x \neq -1,5$$.