5. Докажите тождество: $$\left( \frac{b}{b^2-8b+16} - \frac{b+6}{b^2-16} \right) \cdot \frac{b+12}{b^2-16} = \frac{2}{b-4}$$.

Решение:

Разложим знаменатели на множители:

$$b^2 - 8b + 16 = (b-4)^2$$

$$b^2 - 16 = (b-4)(b+4)$$

Подставим разложенные знаменатели в левую часть тождества:

$$\left( \frac{b}{(b-4)^2} - \frac{b+6}{(b-4)(b+4)} \right) \cdot \frac{b+12}{(b-4)(b+4)}$$

Приведём к общему знаменателю в первой скобке: \( (b-4)^2(b+4) \).

$$\left( \frac{b(b+4)}{(b-4)^2(b+4)} - \frac{(b+6)(b-4)}{(b-4)^2(b+4)} \right) \cdot \frac{b+12}{(b-4)(b+4)}$$

$$\left( \frac{b^2+4b - (b^2+2b-24)}{(b-4)^2(b+4)} \right) \cdot \frac{b+12}{(b-4)(b+4)}$$

$$\left( \frac{b^2+4b - b^2-2b+24}{(b-4)^2(b+4)} \right) \cdot \frac{b+12}{(b-4)(b+4)}$$

$$\left( \frac{2b+24}{(b-4)^2(b+4)} \right) \cdot \frac{b+12}{(b-4)(b+4)}$$

$$\frac{2(b+12)}{(b-4)^2(b+4)} \cdot \frac{b+12}{(b-4)(b+4)} = \frac{2(b+12)^2}{(b-4)^3(b+4)^2}$$

Похоже, в условии есть опечатка. Давайте попробуем проверить тождество, если во второй скобке стоит $$\frac{2}{b-4}$$:

$$\left( \frac{b}{(b-4)^2} - \frac{b+6}{(b-4)(b+4)} \right) \cdot \frac{2}{b-4}$$

$$\left( \frac{b(b+4) - (b+6)(b-4)}{(b-4)^2(b+4)} \right) \cdot \frac{2}{b-4}$$

$$\left( \frac{b^2+4b - (b^2+2b-24)}{(b-4)^2(b+4)} \right) \cdot \frac{2}{b-4}$$

$$\left( \frac{2b+24}{(b-4)^2(b+4)} \right) \cdot \frac{2}{b-4}$$

$$\frac{2(b+12)}{(b-4)^2(b+4)} \cdot \frac{2}{b-4} = \frac{4(b+12)}{(b-4)^3(b+4)}$$

Рассмотрим другое возможное исправление тождества. Если последняя дробь равна $$\frac{b+12}{b^2-16}$$, и нужно доказать, что это равно $$\frac{2}{b-4}$$.

$$\left( \frac{b}{(b-4)^2} - \frac{b+6}{(b-4)(b+4)} \right) = \frac{b(b+4) - (b+6)(b-4)}{(b-4)^2(b+4)} = \frac{b^2+4b - (b^2+2b-24)}{(b-4)^2(b+4)} = \frac{2b+24}{(b-4)^2(b+4)} = \frac{2(b+12)}{(b-4)^2(b+4)}$$

Теперь умножим на $$\frac{b+12}{b^2-16} = \frac{b+12}{(b-4)(b+4)}$$:

$$\frac{2(b+12)}{(b-4)^2(b+4)} \cdot \frac{b+12}{(b-4)(b+4)} = \frac{2(b+12)^2}{(b-4)^3(b+4)^2}$$

Если предполагается, что тождество выглядит так:

$$\left( \frac{b}{b^2-8b+16} - \frac{b+6}{b^2-16} \right) : \frac{b+12}{b^2-16} = \frac{2}{b-4}$$

$$\frac{2(b+12)}{(b-4)^2(b+4)} : \frac{b+12}{(b-4)(b+4)} = \frac{2(b+12)}{(b-4)^2(b+4)} \cdot \frac{(b-4)(b+4)}{b+12} = \frac{2}{b-4}$$

Ответ: тождество доказано при условии, что между скобкой и последней дробью стоит знак деления, а не умножения.