8. Докажите, что при любом значении $$p$$ уравнение $$x^2 - px + 2p^2 + 1 = 0$$ не имеет корней.

Решение:

Квадратное уравнение $$ax^2 + bx + c = 0$$ не имеет действительных корней, если его дискриминант $$D < 0$$.

В данном уравнении $$x^2 - px + 2p^2 + 1 = 0$$ имеем:

• $$a = 1$$
• $$b = -p$$
• $$c = 2p^2 + 1$$

Вычислим дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-p)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2p^2 + 1)$$

$$D = p^2 - 4(2p^2 + 1)$$

$$D = p^2 - 8p^2 - 4$$

$$D = -7p^2 - 4$$

Теперь проанализируем знак дискриминанта:

• $$p^2$$ всегда неотрицательно, т.е. $$p^2 \ge 0$$ для любого действительного $$p$$.
• Следовательно, $$-7p^2 \le 0$$.
• Тогда $$-7p^2 - 4 \le -4$$.

Таким образом, $$D = -7p^2 - 4$$ всегда меньше нуля ($$D < 0$$) для любого действительного значения $$p$$.

Следовательно, уравнение $$x^2 - px + 2p^2 + 1 = 0$$ не имеет действительных корней при любом значении $$p$$.

Ответ: Доказано.