4. Разность квадратов двух натуральных чисел равна 25, а сумма этих чисел тоже равна 25. Найдите эти числа.

Задание 4. Разность квадратов чисел

Пусть два натуральных числа будут x и y.

По условию задачи имеем два уравнения:

1. Разность квадратов чисел равна 25:
   
   

   \[ x^2 - y^2 = 25 \]

2. Сумма самих чисел равна 25:
   
   

   \[ x + y = 25 \]

Используем формулу разности квадратов: \( x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \).

Подставим известные значения в первое уравнение:

\[ (x - y)(25) = 25 \]

\[ x - y = \frac{25}{25} \]

\[ x - y = 1 \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[ \begin{cases} x + y = 25 \\ x - y = 1 \end{cases} \]

Сложим оба уравнения:

\[ (x + y) + (x - y) = 25 + 1 \]

\[ 2x = 26 \]

\[ x = 13 \]

Подставим значение x в любое из уравнений системы. Возьмем первое:

\[ 13 + y = 25 \]

\[ y = 25 - 13 \]

\[ y = 12 \]

Проверим:

\[ x^2 - y^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25 \]

\[ x + y = 13 + 12 = 25 \]

Числа натуральные, удовлетворяют условиям.

Ответ: числа 13 и 12.