6. Решите уравнение: |x - y - 3| + x² - 4xy + 4y² = 0.

Задание 6. Решение уравнения с модулем

Дано уравнение: |x - y - 3| + x² - 4xy + 4y² = 0.

Заметим, что выражение x² - 4xy + 4y² является полным квадратом разности: (x - 2y)².

Уравнение примет вид: |x - y - 3| + (x - 2y)² = 0.

Сумма двух неотрицательных слагаемых (модуль и квадрат) равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю.

Следовательно, имеем систему уравнений:

\[ \begin{cases} |x - y - 3| = 0 \\ (x - 2y)² = 0 \end{cases} \]

Из этих уравнений получаем:

\[ \begin{cases} x - y - 3 = 0 \\ x - 2y = 0 \end{cases} \]

Из второго уравнения: x = 2y.

Подставим x = 2y в первое уравнение:

\[ 2y - y - 3 = 0 \]

\[ y - 3 = 0 \]

\[ y = 3 \]

Найдем x:

\[ x = 2(3) = 6 \]

Ответ: x = 6, y = 3.