4. Решить уравнение: 1) $\log_5(3x+1)=2$; 2) $\log_3(x+2)+\log_3 x=1$; 3) $\ln(x^2-6x+9)=\ln 3+\ln(x+3)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Решить уравнение: 1) $\log_5(3x+1)=2$; 2) $\log_3(x+2)+\log_3 x=1$; 3) $\ln(x^2-6x+9)=\ln 3+\ln(x+3)$.$ Фото задания

Accepted Answer

$\log_5(3x+1)=2$ равносильно $3x+1=5^2$.
$3x=24$, откуда $x=8$. Область определения: $3x+1>0$; найденное значение подходит.
Область определения: $x>0$. По свойству логарифма суммы:
$\log_3\bigl(x(x+2)\bigr)=1$, следовательно, $x(x+2)=3$.
$x^2+2x-3=0$, то есть $(x-1)(x+3)=0$. Получаем $x=1$ или $x=-3$; условию $x>0$ удовлетворяет только $x=1$.
Область определения: $(x-3)^2>0$ и $x+3>0$, то есть $x>-3$, $x\ne3$.
Объединяем логарифмы справа: $\ln((x-3)^2)=\ln(3(x+3))$, поэтому $(x-3)^2=3(x+3)$.
$x^2-6x+9=3x+9$, откуда $x^2-9x=0$, $x(x-9)=0$. Оба корня $0$ и $9$ удовлетворяют области определения.

Ответ: 1) $x=8$; 2) $x=1$; 3) $x=0$ или $x=9$.

4. Решить уравнение: 1) \(\log_5(3x+1)=2\); 2) \(\log_3(x+2)+\log_3 x=1\); 3) \(\ln(x^2-6x+9)=\ln 3+\ln(x+3)\).