№4. Решите неравенство методом интервалов: a) (x+11)(x+3)(x-8) < 0; б) (x-2)(x+2)(4x-20) ≥ 0; в) 2x^3 - 8x^2 + 7x > 0

a) Решаем неравенство \((x+11)(x+3)(x-8) < 0\): 1. Находим нули функции: \(x=-11\), \(x=-3\), \(x=8\) 2. Отмечаем эти точки на числовой прямой. Числовая прямая разбивается на интервалы: \((-\infty, -11)\), \((-11, -3)\), \((-3, 8)\), \((8, +\infty)\) 3. Проверяем знак на каждом интервале. - На \((-\infty, -11)\): возьмем \(x=-12\). \((-12+11)(-12+3)(-12-8) = (-1)(-9)(-20)<0\) (минус) - На \((-11, -3)\): возьмем \(x=-4\). \((-4+11)(-4+3)(-4-8)=(7)(-1)(-12)>0\) (плюс) - На \((-3, 8)\): возьмем \(x=0\). \((0+11)(0+3)(0-8)=(11)(3)(-8)<0\) (минус) - На \((8, +\infty)\): возьмем \(x=9\). \((9+11)(9+3)(9-8)=(20)(12)(1)>0\) (плюс) 4. Выбираем интервалы, где функция отрицательна. Ответ: \(x \in (-\infty, -11) \cup (-3, 8)\) б) Решаем неравенство \((x-2)(x+2)(4x-20) \ge 0\): 1. Находим нули функции: \(x=2\), \(x=-2\), \(4x-20=0 \Rightarrow x=5\) 2. Отмечаем эти точки на числовой прямой. Интервалы: \((-\infty, -2)\), \((-2, 2)\), \((2, 5)\), \((5, +\infty)\) 3. Проверяем знак на каждом интервале. - На \((-\infty, -2)\): возьмем \(x=-3\). \((-3-2)(-3+2)(4(-3)-20)=(-5)(-1)(-32)<0\) (минус) - На \((-2, 2)\): возьмем \(x=0\). \((0-2)(0+2)(4(0)-20)=(-2)(2)(-20)>0\) (плюс) - На \((2, 5)\): возьмем \(x=3\). \((3-2)(3+2)(4(3)-20)=(1)(5)(-8)<0\) (минус) - На \((5, +\infty)\): возьмем \(x=6\). \((6-2)(6+2)(4(6)-20)=(4)(8)(4)>0\) (плюс) 4. Выбираем интервалы, где функция неотрицательна. Ответ: \(x \in [-2, 2] \cup [5, +\infty)\) в) Решаем неравенство \(2x^3 - 8x^2 + 7x > 0\): 1. Выносим x за скобки: \(x(2x^2 - 8x + 7) > 0\) 2. Находим нули функции: \(x=0\) и корни квадратного уравнения \(2x^2 - 8x + 7 = 0\). Используем дискриминант: \(D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 64 - 56 = 8\). Корни \(x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{2}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\) 3. Приближенно: \(x_1 \approx 2 - 0.7 \approx 1.3\) и \(x_2 \approx 2 + 0.7 \approx 2.7\). Интервалы: \((-\infty, 0)\), \((0, 1.3)\), \((1.3, 2.7)\), \((2.7, +\infty)\) 4. Проверяем знаки на каждом интервале. Выбираем интервалы где больше нуля. Ответ: \(x \in (0, 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (2 + \frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty)\) (приблизительно \(x \in (0, 1.3) \cup (2.7, +\infty)\))