№6. Решите неравенство: а) \(\frac{x-1}{x+7} > 0\); б) \(\frac{x^2+6x+5}{x-4} < 0\); в) \(\frac{x^2-7x+6}{x^2-49} \le 0\)

a) Решаем неравенство \(\frac{x-1}{x+7} > 0\) методом интервалов: 1. Находим нули числителя \(x-1 = 0 \Rightarrow x=1\) и знаменателя \(x+7=0 \Rightarrow x=-7\) 2. Отмечаем точки на числовой прямой. Числовая прямая разбивается на интервалы: \((-\infty, -7)\), \((-7, 1)\), \((1, +\infty)\). 3. Определяем знаки на каждом интервале. -На \((-\infty, -7)\): возьмем \(x=-8\). \(\frac{-8-1}{-8+7} = \frac{-9}{-1} > 0\) (плюс) -На \((-7, 1)\): возьмем \(x=0\). \(\frac{0-1}{0+7} = \frac{-1}{7} < 0\) (минус) -На \((1, +\infty)\): возьмем \(x=2\). \(\frac{2-1}{2+7} = \frac{1}{9} > 0\) (плюс) 4. Выбираем интервалы, где неравенство больше нуля. Ответ: \(x \in (-\infty, -7) \cup (1, +\infty)\) б) Решаем неравенство \(\frac{x^2+6x+5}{x-4} < 0\) методом интервалов: 1. Разложим числитель на множители. Корни \(x^2+6x+5=0\): \(D=36-20=16\), \(x_{1,2} = \frac{-6 \pm 4}{2}\), \(x_1=-5\), \(x_2=-1\), тогда \(x^2+6x+5=(x+5)(x+1)\) 2. Находим нули числителя: \(x+5=0 \Rightarrow x=-5\), \(x+1=0 \Rightarrow x=-1\), и знаменателя \(x-4=0 \Rightarrow x=4\) 3. Интервалы: \((-\infty, -5)\), \((-5, -1)\), \((-1, 4)\), \((4, +\infty)\) 4. Определяем знаки на каждом интервале: - На \((-\infty, -5)\): возьмем \(x=-6\). \(\frac{(-6+5)(-6+1)}{-6-4} = \frac{(-1)(-5)}{-10} < 0\) (минус) - На \((-5, -1)\): возьмем \(x=-2\). \(\frac{(-2+5)(-2+1)}{-2-4} = \frac{(3)(-1)}{-6} > 0\) (плюс) - На \((-1, 4)\): возьмем \(x=0\). \(\frac{(0+5)(0+1)}{0-4} = \frac{5}{-4} < 0\) (минус) - На \((4, +\infty)\): возьмем \(x=5\). \(\frac{(5+5)(5+1)}{5-4} = \frac{10 \cdot 6}{1} > 0\) (плюс) 5. Выбираем интервалы, где функция меньше нуля. Ответ: \(x \in (-\infty, -5) \cup (-1, 4)\) в) Решаем неравенство \(\frac{x^2-7x+6}{x^2-49} \le 0\): 1. Разложим числитель на множители. Корни \(x^2-7x+6=0\): \(D=49-24=25\), \(x_{1,2} = \frac{7 \pm 5}{2}\), \(x_1=1\), \(x_2=6\), тогда \(x^2-7x+6=(x-1)(x-6)\) 2. Разложим знаменатель: \(x^2 - 49 = (x-7)(x+7)\) 3. Неравенство: \(\frac{(x-1)(x-6)}{(x-7)(x+7)} \le 0\). Находим нули: \(x=1\), \(x=6\), \(x=7\), \(x=-7\) 4. Интервалы: \((-\infty, -7)\), \((-7, 1)\), \((1, 6)\), \((6, 7)\), \((7, +\infty)\) 5. Определяем знаки на каждом интервале: - На \((-\infty, -7)\): возьмем \(x=-8\). \(\frac{(-8-1)(-8-6)}{(-8-7)(-8+7)} = \frac{(-9)(-14)}{(-15)(-1)} > 0\) (плюс) - На \((-7, 1)\): возьмем \(x=0\). \(\frac{(0-1)(0-6)}{(0-7)(0+7)} = \frac{(-1)(-6)}{(-7)(7)} < 0\) (минус) - На \((1, 6)\): возьмем \(x=2\). \(\frac{(2-1)(2-6)}{(2-7)(2+7)} = \frac{(1)(-4)}{(-5)(9)} > 0\) (плюс) - На \((6, 7)\): возьмем \(x=6.5\). \(\frac{(6.5-1)(6.5-6)}{(6.5-7)(6.5+7)} = \frac{(5.5)(0.5)}{(-0.5)(13.5)} < 0\) (минус) - На \((7, +\infty)\): возьмем \(x=8\). \(\frac{(8-1)(8-6)}{(8-7)(8+7)} = \frac{(7)(2)}{(1)(15)} > 0\) (плюс) 6. Выбираем интервалы, где функция меньше или равна нулю. Ответ: \(x \in (-7, 1] \cup [6, 7)\)