4. Решите неравенство: x^2 < 4.

Решение:

Чтобы решить неравенство \( x^2 < 4 \), перенесём всё в одну часть:

\[ x^2 - 4 < 0 \]

Разложим на множители, используя формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \):

\[ (x - 2)(x + 2) < 0 \]

Найдём корни уравнения \( (x - 2)(x + 2) = 0 \). Корни: \( x = 2 \) и \( x = -2 \).

Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 2) \), \( (2, +\infty) \).

Проверим знак выражения \( (x - 2)(x + 2) \) в каждом интервале:

• При \( x < -2 \) (например, \( x = -3 \)): \( (-3 - 2)(-3 + 2) = (-5)(-1) = 5 > 0 \)
• При \( -2 < x < 2 \) (например, \( x = 0 \)): \( (0 - 2)(0 + 2) = (-2)(2) = -4 < 0 \)
• При \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)): \( (3 - 2)(3 + 2) = (1)(5) = 5 > 0 \)

Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля. Это соответствует интервалу \( (-2, 2) \).

Ответ: \( (-2, 2) \)