7. Сумма второго и четвертого членов возрастающей арифметической прогрессии равна 16, а произведение второго и четвертого членов равно 28. Найдите эту прогрессию.

Решение:

Пусть \(a_1\) — первый член арифметической прогрессии, а \(d\) — её разность. Тогда второй член прогрессии \(a_2 = a_1 + d\), а четвёртый член \(a_4 = a_1 + 3d\).

По условию задачи имеем систему уравнений:

1. \(a_2 + a_4 = 16\)
2. \(a_2 \cdot a_4 = 28\)

Подставим выражения для \(a_2\) и \(a_4\) через \(a_1\) и \(d\):

1. \((a_1 + d) + (a_1 + 3d) = 16 \Rightarrow 2a_1 + 4d = 16 \Rightarrow a_1 + 2d = 8\)
2. \((a_1 + d)(a_1 + 3d) = 28\)

Из первого уравнения выразим \(a_1 = 8 - 2d\). Подставим это во второе уравнение:

1. \((8 - 2d + d)(8 - 2d + 3d) = 28\)
2. \((8 - d)(8 + d) = 28\)
3. \(64 - d^2 = 28\)
4. \(d^2 = 64 - 28\)
5. \(d^2 = 36\)
6. \(d = \pm 6\)

Так как прогрессия возрастающая, то \(d > 0\), значит \(d = 6\).

Теперь найдём \(a_1\):

1. \(a_1 = 8 - 2d = 8 - 2(6) = 8 - 12 = -4\)

Найдём второй и четвертый члены прогрессии:

1. \(a_2 = a_1 + d = -4 + 6 = 2\)
2. \(a_4 = a_1 + 3d = -4 + 3(6) = -4 + 18 = 14\)

Проверим условия: \(a_2 + a_4 = 2 + 14 = 16\) (верно), \(a_2 \cdot a_4 = 2 \cdot 14 = 28\) (верно).

Арифметическая прогрессия имеет вид:

1. \(-4; 2; 8; 14; ...\)

Ответ: -4; 2; 8; 14; ...