7. Сумма второго и четвертого членов возрастающей арифметической прогрессии равна 16, а произведение второго и четвертого членов равно 28. Найдите эту прогрессию.

Решение:

Обозначим второй член прогрессии как \( a_2 \) и четвертый член как \( a_4 \). По условию:

1. \( a_2 + a_4 = 16 \)

2. \( a_2 \cdot a_4 = 28 \)

Это система уравнений. Можно решить её, найдя \( a_2 \) и \( a_4 \) как корни квадратного уравнения \( t^2 - (a_2 + a_4)t + a_2 a_4 = 0 \).

Подставим значения:

\[ t^2 - 16t + 28 = 0 \]

Найдём дискриминант:

\[ D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28 = 256 - 112 = 144 \]

Найдём корни:

\[ t_1 = \frac{16 + \sqrt{144}}{2} = \frac{16 + 12}{2} = \frac{28}{2} = 14 \]

\[ t_2 = \frac{16 - \sqrt{144}}{2} = \frac{16 - 12}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

Значит, \( a_2 \) и \( a_4 \) равны 2 и 14 (или 14 и 2). Так как прогрессия возрастающая, то \( a_2 < a_4 \). Следовательно:

\( a_2 = 2 \)

\( a_4 = 14 \)

Теперь найдём разность прогрессии \( d \). Известно, что \( a_4 = a_2 + 2d \).

\[ 14 = 2 + 2d \]

\[ 12 = 2d \]

\[ d = 6 \]

Теперь найдём первый член прогрессии \( a_1 \). Известно, что \( a_2 = a_1 + d \).

\[ 2 = a_1 + 6 \]

\[ a_1 = 2 - 6 = -4 \]

Итак, арифметическая прогрессия начинается с -4, а разность равна 6. Проверим:

\( a_1 = -4 \)

\( a_2 = -4 + 6 = 2 \)

\( a_3 = 2 + 6 = 8 \)

\( a_4 = 8 + 6 = 14 \)

Проверяем условия: \( a_2 + a_4 = 2 + 14 = 16 \) (верно) и \( a_2 \cdot a_4 = 2 \cdot 14 = 28 \) (верно).

Ответ: -4; 2; 8; 14; ...