6. Решите уравнение: 4 - 2/(2x-4) - 7/(2x^2+4x) = 0.

Решение:

Для решения уравнения приведём все дроби к общему знаменателю.

Разложим знаменатели на множители:

\[ 2x - 4 = 2(x - 2) \]

\[ 2x^2 + 4x = 2x(x + 2) \]

Общий знаменатель для \( 1 \), \( 2(x - 2) \) и \( 2x(x + 2) \) будет \( 2x(x - 2)(x + 2) \).

Преобразуем уравнение:

\[ \frac{4 \cdot 2x(x - 2)(x + 2)}{2x(x - 2)(x + 2)} - \frac{2 \cdot x(x + 2)}{2x(x - 2)(x + 2)} - \frac{7 \cdot (x - 2)}{2x(x - 2)(x + 2)} = 0 \]

Приведём числители:

\[ 4 \cdot 2x(x^2 - 4) - 2x(x + 2) - 7(x - 2) = 0 \]

\[ 8x(x^2 - 4) - (2x^2 + 4x) - (7x - 14) = 0 \]

\[ 8x^3 - 32x - 2x^2 - 4x - 7x + 14 = 0 \]

\[ 8x^3 - 2x^2 - 43x + 14 = 0 \]

У этого кубического уравнения нет простых целочисленных корней. Проверим условия допустимых значений: \( x \neq 2 \), \( x \neq -2 \), \( x \neq 0 \).

Если подставить \( x=2 \) в исходное уравнение, знаменатель \( 2x-4 \) обращается в 0. Если \( x=-2 \), знаменатель \( 2x^2+4x \) обращается в 0. Если \( x=0 \), знаменатель \( 2x^2+4x \) обращается в 0.

Таким образом, \( x=2 \) и \( x=-2 \) не могут быть решениями.

Попробуем найти рациональные корни многочлена \( P(x) = 8x^3 - 2x^2 - 43x + 14 \). Возможные рациональные корни — это делители свободного члена (14), делённые на делители старшего коэффициента (8). Делители 14: \( \pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm 14 \). Делители 8: \( \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8 \).

Проверим \( x = 1/2 \):

\[ 8(1/2)^3 - 2(1/2)^2 - 43(1/2) + 14 = 8(1/8) - 2(1/4) - 43/2 + 14 = 1 - 1/2 - 43/2 + 14 = 15 - 44/2 = 15 - 22 = -7 \neq 0 \]

Проверим \( x = -1/2 \):

\[ 8(-1/2)^3 - 2(-1/2)^2 - 43(-1/2) + 14 = 8(-1/8) - 2(1/4) + 43/2 + 14 = -1 - 1/2 + 43/2 + 14 = 13 + 42/2 = 13 + 21 = 34 \neq 0 \]

Проверим \( x = 7/2 \):

\[ 8(7/2)^3 - 2(7/2)^2 - 43(7/2) + 14 = 8(343/8) - 2(49/4) - 301/2 + 14 = 343 - 49/2 - 301/2 + 14 = 357 - 350/2 = 357 - 175 = 182 \neq 0 \]

Проверим \( x = -7/2 \):

\[ 8(-7/2)^3 - 2(-7/2)^2 - 43(-7/2) + 14 = 8(-343/8) - 2(49/4) + 301/2 + 14 = -343 - 49/2 + 301/2 + 14 = -329 + 252/2 = -329 + 126 = -203 \neq 0 \]

Возможно, в условии опечатка, или уравнение имеет иррациональные корни.

Если предположить, что в числителе первой дроби стоит 2, а не 4, и в числителе второй дроби стоит 1, а не 7:

\( \frac{2}{2x-4} - \frac{1}{2x-4} - \frac{7}{2x^2+4x} = 0 \)

\( \frac{1}{2x-4} - \frac{7}{2x^2+4x} = 0 \)

\( \frac{1}{2(x-2)} - \frac{7}{2x(x+2)} = 0 \)

\( \frac{x(x+2) - 7(x-2)}{2x(x-2)(x+2)} = 0 \)

\( x^2 + 2x - 7x + 14 = 0 \)

\( x^2 - 5x + 14 = 0 \)

Дискриминант \( D = (-5)^2 - 4(1)(14) = 25 - 56 = -31 < 0 \). Корней нет.

Вернёмся к исходному уравнению. Если предположить, что \( x=2 \) является корнем, но является посторонним. Проверим \( x = 1/2 \):

\[ 4 - \frac{2}{2(1/2)-4} - \frac{7}{2(1/2)^2+4(1/2)} = 4 - \frac{2}{1-4} - \frac{7}{2(1/4)+2} = 4 - \frac{2}{-3} - \frac{7}{1/2+2} = 4 + 2/3 - \frac{7}{5/2} = 4 + 2/3 - 14/5 = \frac{60 + 20 - 42}{15} = \frac{38}{15} \neq 0 \]

Исходя из сложности кубического уравнения и отсутствия очевидных рациональных корней, можно предположить, что задание содержит опечатку. Однако, если следовать условию, кубическое уравнение \( 8x^3 - 2x^2 - 43x + 14 = 0 \) является результатом преобразования.

Проверим \( x = -2 \). Знаменатель \( 2x^2+4x = 2(-2)^2+4(-2) = 2(4) - 8 = 8 - 8 = 0 \). \( x = -2 \) - посторонний корень.

Проверим \( x = 2 \). Знаменатель \( 2x-4 = 2(2)-4 = 4-4 = 0 \). \( x = 2 \) - посторонний корень.

Проверим \( x = 1/2 \). Проверено выше, не корень.

Проверим \( x = 7/4 \):

\[ 8(7/4)^3 - 2(7/4)^2 - 43(7/4) + 14 = 8(343/64) - 2(49/16) - 301/4 + 14 = 343/8 - 49/8 - 301/4 + 14 = 294/8 - 301/4 + 14 = 147/4 - 301/4 + 56/4 = (147 - 301 + 56)/4 = -98/4 = -49/2 \neq 0 \]

Если предположить, что \( x = 2 \) это корень, и \( x = -1/2 \) это корень.

Ответ: Без точного нахождения корней кубического уравнения или при наличии опечатки в условии, дать ответ невозможно.