4. Решите систему уравнений: { 5(x+y)-7(x-y)=12, 4(x+y)+3(x-y)=44. }

Решение:

Обозначим \( u = x+y \) и \( v = x-y \). Тогда система примет вид:

• \( 5u - 7v = 12 \)
• \( 4u + 3v = 44 \)

Умножим первое уравнение на 3, а второе на 7, чтобы избавиться от \( v \):

• \( (5u - 7v) · 3 = 12 · 3 → 15u - 21v = 36 \)
• \( (4u + 3v) · 7 = 44 · 7 → 28u + 21v = 308 \)

Сложим полученные уравнения:

• \( (15u - 21v) + (28u + 21v) = 36 + 308 \)
• \( 43u = 344 \)
• \( u = \frac{344}{43} = 8 \)

Подставим \( u=8 \) во второе уравнение исходной системы:

• \( 4(8) + 3v = 44 \)
• \( 32 + 3v = 44 \)
• \( 3v = 44 - 32 \)
• \( 3v = 12 \)
• \( v = 4 \)

Теперь найдем \( x \) и \( y \) из соотношений \( u = x+y \) и \( v = x-y \):

• \( x+y = 8 \)
• \( x-y = 4 \)

Сложим эти два уравнения:

• \( (x+y) + (x-y) = 8 + 4 \)
• \( 2x = 12 \)
• \( x = 6 \)

Подставим \( x=6 \) в первое уравнение:

• \( 6 + y = 8 \)
• \( y = 8 - 6 \)
• \( y = 2 \)

Проверим решение во втором уравнении:

• \( 6 - 2 = 4 \) (Верно)

Ответ: x = 6, y = 2.