4) Решите системы: {3^x+3^y=12; x+y=3}; {2^x·3^y−24=0; 2^y·3^x−54=0}.

Первая система. Обозначим \(a=3^x\), \(b=3^y\). Тогда \(a+b=12\), а из \(x+y=3\) следует \(ab=3^{x+y}=27\). Числа \(a,b\) — корни уравнения \(z^2-12z+27=0\), то есть 3 и 9. Поэтому \((x,y)=(1,2)\) или \((2,1)\).

Вторая система. Запишем уравнения как \(2^x3^y=24\) и \(2^y3^x=54\). Деление первого равенства на второе даёт \((2/3)^{x-y}=4/9=(2/3)^2\), поэтому \(x-y=2\). Перемножение равенств даёт \(6^{x+y}=1296=6^4\), значит, \(x+y=4\). Решая полученную систему, находим \(x=3,\ y=1\).

Ответ: первая система — \((1,2)\), \((2,1)\); вторая — \((3,1)\).