5) Решите уравнения: а) 9^{x+1}−3·3^{x+3}−27·3^{x−2}+27=0; б) (0,1)^{x+1}+(0,01)^x=0,02; в) 4·9^x+12^x−3·16^x=0; г) 4^{√(9−x²)+1}+2=9·2^{√(9−x²)}.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5) Решите уравнения: а) 9^{x+1}−3·3^{x+3}−27·3^{x−2}+27=0; б) (0,1)^{x+1}+(0,01)^x=0,02; в) 4·9^x+12^x−3·16^x=0; г)…$ Фото задания

5) Решите уравнения: а) 9^{x+1}−3·3^{x+3}−27·3^{x−2}+27=0; б) (0,1)^{x+1}+(0,01)^x=0,02; в) 4·9^x+12^x−3·16^x=0; г) 4^{√(9−x²)+1}+2=9·2^{√(9−x²)}.

Accepted Answer

а) Пусть $t=3^x>0$. Тогда уравнение принимает вид $9t^2-81t-3t+27=0$, или $3t^2-28t+9=0$. Отсюда $t=9$ или $t=1/3$, поэтому $x=2$ или $x=-1$.

б) Пусть $t=10^{-x}>0$. Тогда $t/10+t^2=0.02$, откуда $50t^2+5t-1=0$. Положительный корень — $t=0.1=10^{-1}$, значит, $x=1$.

в) Разделим уравнение на $16^x>0$ и положим $t=(3/4)^x>0$. Получим $4t^2+t-3=0$, то есть $(t-3/4)(4t+4)=0$. Поэтому $t=3/4$, а значит, $x=1$.

г) Область определения: $-3\leq x\leq3$. Положим $t=2^{\sqrt{9-x^2}}$, тогда $t\nearrow 1$ не требуется: достаточно учесть $t\geq1$. Уравнение становится $4t^2+2=9t$, то есть $(4t-1)(t-2)=0$. С учётом $t\geq1$ остаётся $t=2$. Следовательно, $\sqrt{9-x^2}=1$, откуда $x=7\sqrt{2}$.

Ответ: а) $x=-1, 2$; б) $x=1$; в) $x=1$; г) $x=-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}$.