4. Решите уравнение: \(9^{\log_{1/3}(x+2)}=7^{\log_7(2x^2+3x+2)}\).

Область определения: \(x+2>0\). Выражение \(2x^2+3x+2\) положительно при всех \(x\), поскольку его дискриминант равен \(-7<0\), а старший коэффициент положителен.

Используем свойства степеней и логарифмов: \(9^{\log_{1/3}(x+2)}=(x+2)^{-2}\), а \(7^{\log_7(2x^2+3x+2)}=2x^2+3x+2\).

Введём \(y=x+2\), где \(y>0\). Тогда уравнение принимает вид \(y^{-2}=2y^2-5y+4\), то есть \(2y^4-5y^3+4y^2-1=0\).

Разложим многочлен: \((y-1)(2y^3-3y^2+y+1)=0\). Кубический множитель положителен при \(y>0\): его минимум на положительной полуоси достигается при \(y=(3+\sqrt3)/6\) и остаётся положительным. Поэтому возможно только \(y=1\).

Значит, \(x+2=1\), откуда \(x=-1\). Это значение входит в область определения.

Ответ: \(x=-1\).