5. Со звёздочкой: \(2^{|x-2|\sin x}=(\sqrt2)^{x|\sin x|}\).

Представим правую часть как степень числа 2: \((\sqrt2)^{x|\sin x|}=2^{x|\sin x|/2}\). Поскольку основание 2 больше 1, равны показатели степеней.

Получаем \(|x-2|\sin x=\frac{x|\sin x|}{2}\).

Если \(\sin x=0\), равенство выполняется при любом \(x=k\pi\), где \(k\in\mathbb Z\).

Если \(\sin x\ne0\), делим на \(|\sin x|\). При \(\sin x>0\) имеем \(|x-2|=x/2\), что даёт кандидатов \(x=\frac43\) и \(x=4\). Из них условию \(\sin x>0\) удовлетворяет только \(\frac43\). При \(\sin x<0\) равенство потребовало бы \(-|x-2|=x/2\); полученный кандидат \(x=4\) не подходит, так как \(\sin4>0\).

Ответ: \(x=k\pi\), \(k\in\mathbb Z\), или \(x=\frac43\).