4. Решите задачу: Выйдя из дома, ученик подумал, что если он пойдет в школу со скоростью 3 км/ч, то опоздает на урок на 1 минуту, а если пойдет со скоростью 4км/ч, то придет за 3 минуты до начала урока. За сколько минут до начала урока он вышел? С какой скоростью он должен идти, чтобы прийти точно к началу урока?

Решение:

Пусть \( t \) — время в часах, которое нужно ученику, чтобы дойти до школы вовремя. Пусть \( S \) — расстояние от дома до школы в километрах.

1. Скорость 3 км/ч:

Время в пути: \( \frac{S}{3} \) часа. Опоздание на 1 минуту означает, что он пришел на \( \frac{1}{60} \) часа позже.

\( \frac{S}{3} = t + \frac{1}{60} \) (1)

2. Скорость 4 км/ч:

Время в пути: \( \frac{S}{4} \) часа. Приход за 3 минуты до урока означает, что он пришел на \( \frac{3}{60} = \frac{1}{20} \) часа раньше.

\( \frac{S}{4} = t - \frac{3}{60} \) (2)

3. Решим систему уравнений:

Из уравнения (1): \( S = 3t + \frac{3}{60} = 3t + \frac{1}{20} \)

Из уравнения (2): \( S = 4t - \frac{12}{60} = 4t - \frac{1}{5} \)

Приравняем выражения для \( S \):

\( 3t + \frac{1}{20} = 4t - \frac{1}{5} \)

\( \frac{1}{20} + \frac{1}{5} = 4t - 3t \)

\( \frac{1 + 4}{20} = t \)

\( t = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \) часа.

Это время, за которое нужно дойти до школы, чтобы прийти вовремя.

4. Найдем расстояние S:

\( S = 3t + \frac{1}{20} = 3 (\frac{1}{4}) + \frac{1}{20} = \frac{3}{4} + \frac{1}{20} = \frac{15 + 1}{20} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} \) км.

5. Найдем скорость, чтобы прийти точно к началу урока:

Скорость \( v = \frac{S}{t} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{4}} = \frac{4}{5} (4) = \frac{16}{5} = 3.2 \) км/ч.

6. За сколько минут до начала урока он вышел?

Ученик вышел из дома в \( t_{выхода} \) часов. Время урока в \( t \) часов. Время выхода = \( t - \frac{1}{4} \) часа.

Время, за которое он должен дойти до школы, чтобы прийти вовремя, равно \( t = \frac{1}{4} \) часа. Значит, он вышел \( \frac{1}{4} \) часа (15 минут) до того момента, как должен был начать идти, чтобы прийти вовремя.

Ответ: Ученик вышел за 15 минут до начала урока. Скорость, с которой он должен идти, чтобы прийти точно к началу урока, равна 3.2 км/ч.