6*. Выполните одно из заданий (по Вашему выбору): а) Верно ли, что 4⁵ + 10⁶+5¹² - квадрат некоторого натурального числа? б) Постройте график уравнения: (x² + y²)|x-1| = 2xy - (x-1). в) Дано: a² - b² = 6; (a-2)² - (b-2)² = 18. Найти a + b.

Решение:

в) Дано: \( a^2 - b^2 = 6 \); \( (a-2)^2 - (b-2)^2 = 18 \). Найти \( a + b \).

Раскроем скобки во втором уравнении:

\[ (a^2 - 4a + 4) - (b^2 - 4b + 4) = 18 \]

\( a^2 - 4a + 4 - b^2 + 4b - 4 = 18 \)

\[ (a^2 - b^2) - 4a + 4b = 18 \]

Подставим \( a^2 - b^2 = 6 \):

\[ 6 - 4a + 4b = 18 \]

\( -4a + 4b = 18 - 6 \)

\[ -4a + 4b = 12 \]

Разделим на -4:

\[ a - b = -3 \]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[ \begin{cases} a^2 - b^2 = 6 \\ a - b = -3 \end{cases} \]

Разложим первое уравнение как разность квадратов:

\[ (a - b)(a + b) = 6 \]

Подставим \( a - b = -3 \):

\[ -3(a + b) = 6 \]

\( a + b = \frac{6}{-3} \)

\[ a + b = -2 \]

Ответ: a + b = -2.