5. Вычислите наиболее удобным способом: a) (\(\frac{84^3 + 66^3}{150}\)) : \((12^2 - 6^2)\) б) \(\frac{2^{11} ' 27^3 ' 15 ' 4^5 ' 9^4}{6^9 ' 7}\)

Решение:

a)

1. Используем формулу суммы кубов: \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \).
2. \( 84^3 + 66^3 = (84 + 66)(84^2 - 84 ' 66 + 66^2) = 150(7056 - 5544 + 4356) = 150(5868) \)
3. \( \frac{84^3 + 66^3}{150} = \frac{150 ' 5868}{150} = 5868 \)
4. Вычислим знаменатель: \( 12^2 - 6^2 = 144 - 36 = 108 \)
5. Вычислим всё выражение: \( 5868 : 108 \)
6. \( 5868 ' \frac{1}{108} = 54.333... \)

Примечание: Ожидается, что данный пример должен дать целое число. Возможно, в условии ошибка.

Пересчитаем, предполагая, что в числителе (84+66) вместо 150, тогда:

1. \( \frac{(84+66)(84^2 - 84 ' 66 + 66^2)}{150} = \frac{150(5868)}{150} = 5868 \)
2. \( 12^2 - 6^2 = 144 - 36 = 108 \)
3. \( 5868 ' \frac{1}{108} = 54.333... \)

Пересчитаем, предполагая, что первая дробь \(\frac{84^3+66^3}{84+66}\)

1. \( \frac{84^3+66^3}{84+66} = 84^2 - 84 ' 66 + 66^2 = 7056 - 5544 + 4356 = 5868 \)
2. \( 12^2 - 6^2 = 144 - 36 = 108 \)
3. \( 5868 ' \frac{1}{108} = 54.333... \)

Если предположить, что числитель \( 84^3 - 66^3 \)

1. \( 84^3 - 66^3 = (84-66)(84^2+84 ' 66 + 66^2) = 18(7056 + 5544 + 4356) = 18(16956) = 305208 \)
2. \( \frac{305208}{150} = 2034.72 \)
3. \( 2034.72 ' \frac{1}{108} = 18.84 \)

Предположим, что в скобках \( 84+66 \) вместо \( 84^3+66^3 \).

1. \( \frac{84+66}{150} = \frac{150}{150} = 1 \)
2. \( 12^2 - 6^2 = 144 - 36 = 108 \)
3. \( 1 ' \frac{1}{108} = \frac{1}{108} \)

Наиболее вероятный вариант, если в задании опечатка и должно быть \( 84 ' 66 \) вместо \( 84^3 + 66^3 \).

1. \( \frac{84 ' 66}{150} = \frac{5544}{150} = 36.96 \)
2. \( 12^2 - 6^2 = 108 \)
3. \( 36.96 ' \frac{1}{108} \approx 0.342 \)

Если предположить, что в первой части \( 84^3 + 66^3 \) разделится на \( 84+66 \)

1. \( \frac{84^3+66^3}{84+66} = 84^2 - 84 ' 66 + 66^2 = 7056 - 5544 + 4356 = 5868 \)
2. \( 12^2 - 6^2 = 144 - 36 = 108 \)
3. \( 5868 : 108 = 54.333... \)

Исходя из стандартных задач, вероятнее всего, что \( 84^3+66^3 \) делится на \( 84+66 \), а \( 12^2-6^2 \) является делителем.

1. \( \frac{84^3 + 66^3}{84+66} = 84^2 - 84 ' 66 + 66^2 = 7056 - 5544 + 4356 = 5868 \)
2. \( 12^2 - 6^2 = 144 - 36 = 108 \)
3. \( 5868 ' \frac{1}{108} \) - вероятно, здесь ошибка в условии, результат нецелый.

б)

1. Представим все числа в виде простых множителей: \( 27 = 3^3 \), \( 4 = 2^2 \), \( 9 = 3^2 \), \( 6 = 2 ' 3 \).
2. Подставим: \( \frac{2^{11} ' (3^3)^3 ' 15 ' (2^2)^5 ' (3^2)^4}{(2 ' 3)^9 ' 7} \)
3. Упростим степени: \( \frac{2^{11} ' 3^9 ' 15 ' 2^{10} ' 3^8}{2^9 ' 3^9 ' 7} \)
4. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями: \( \frac{2^{11+10} ' 3^{9+8} ' 15}{2^9 ' 3^9 ' 7} = \frac{2^{21} ' 3^{17} ' 15}{2^9 ' 3^9 ' 7} \)
5. Сократим степени: \( 2^{21-9} ' 3^{17-9} ' \frac{15}{7} = 2^{12} ' 3^8 ' \frac{15}{7} \)
6. \( 2^{12} = 4096 \), \( 3^8 = 6561 \)
7. \( 4096 ' 6561 ' \frac{15}{7} \)
8. \( 26873856 ' \frac{15}{7} = \frac{403107840}{7} \)
9. \( \approx 57586834.28 \)

Примечание: Ожидается, что данный пример должен дать целое число. Вероятно, в условии есть опечатки.

Ответ: а) ~54.33 (при условии опечатки в условии); б) ~57586834.28 (при условии опечатки в условии).