4. Решите задачу: Выйдя из дома, ученик подумал, что если он пойдет в школу со скоростью 3 км/ч, то опоздает на урок на 1 минуту, а если пойдет со скоростью 4км/ч, то придет за 3 минуты до начала урока. За сколько минут до начала урока он вышел? С какой скоростью он должен идти, чтобы прийти точно к началу урока?

Решение:

Пусть \( S \) — расстояние до школы в км, \( t \) — время в пути в часах, которое ученик потратит, если пойдет с нужной скоростью. Урок начинается в определённое время. Время, которое ученик должен затратить, чтобы прийти точно к началу урока, равно \( t \) часам.

Скорость \( v_1 = 3 \) км/ч. Время \( t_1 = \frac{S}{3} \) ч. Ученик опоздал на 1 минуту, значит, \( t_1 = t + \frac{1}{60} \) ч.

Скорость \( v_2 = 4 \) км/ч. Время \( t_2 = \frac{S}{4} \) ч. Ученик пришёл на 3 минуты раньше, значит, \( t_2 = t - \frac{3}{60} \) ч.

Составим систему уравнений:

\[ \begin{cases} \frac{S}{3} = t + \frac{1}{60} \\ \frac{S}{4} = t - \frac{3}{60} \end{cases} \]

Выразим \( S \) из обоих уравнений:

\[ S = 3t + \frac{3}{60} \]

\( S = 4t - \frac{12}{60} \)

Приравняем выражения для \( S \):

\[ 3t + \frac{3}{60} = 4t - \frac{12}{60} \]

\( 4t - 3t = \frac{3}{60} + \frac{12}{60} \)

\[ t = \frac{15}{60} = \frac{1}{4} \] часа.

Время, которое ученик должен затратить, чтобы прийти точно к началу урока, равно \( \frac{1}{4} \) часа, или 15 минут.

Найдем расстояние \( S \):

\[ S = 3 \left(\frac{1}{4}\right) + \frac{3}{60} = \frac{3}{4} + \frac{1}{20} = \frac{15}{20} + \frac{1}{20} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} \] км.

Найдем нужную скорость \( v \):

\[ v = \frac{S}{t} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{4}} = \frac{4}{5} \times 4 = \frac{16}{5} = 3.2 \] км/ч.

Ответ: Ученик вышел за 15 минут до начала урока. Он должен идти со скоростью 3.2 км/ч.