5. Вычислите наиболее удобным способом: a) (84³ + 66³)/150 - 84 ⋅ 66 : (12² - 6²) б) 2¹¹.27³ + 15 ⋅ 4⁵ ⋅ 9⁴ / 6⁹ ⋅ 7

Решение:

а) \( \frac{84^3 + 66^3}{150} - 84 \cdot 66 : (12^2 - 6^2) \)

Воспользуемся формулой суммы кубов \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \) и разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \).

Числитель первой дроби:

\[ 84^3 + 66^3 = (84 + 66)(84^2 - 84 \cdot 66 + 66^2) = 150(84^2 - 84 \cdot 66 + 66^2) \]

Первая дробь:

\[ \frac{150(84^2 - 84 \cdot 66 + 66^2)}{150} = 84^2 - 84 \cdot 66 + 66^2 \]

Знаменатель разности квадратов:

\[ 12^2 - 6^2 = (12 - 6)(12 + 6) = 6 \cdot 18 = 108 \]

Вторая часть выражения:

\[ 84 \cdot 66 : 108 = \frac{84 \cdot 66}{108} = \frac{84 \cdot 66}{12 \cdot 9} = \frac{7 \cdot 66}{9} = \frac{7 \cdot 22}{3} = \frac{154}{3} \]

Первая часть выражения:

\[ 84^2 - 84 \cdot 66 + 66^2 = (84 - 33)^2 + 84 \cdot 33 = 51^2 + 2772 = 2601 + 2772 = 5373 \]

Теперь вычтем:

\[ 5373 - \frac{154}{3} \]

У нас возникла проблема с вычислением, так как ответ не получается целым числом, и, скорее всего, в условии есть ошибка. Проверим другой способ.

Возможно, в задании имелось в виду:

\[ \frac{84^3 + 66^3}{84+66} - 84 \cdot 66 : (12^2 - 6^2) \]

\( \frac{84^3 + 66^3}{150} = 84^2 - 84 \cdot 66 + 66^2 = (84-66)^2 + 84 \cdot 66 = 18^2 + 5544 = 324 + 5544 = 5868 \)

\( 84 \cdot 66 : (12^2 - 6^2) = 84 \cdot 66 : 108 = \frac{84 \cdot 66}{108} = \frac{7 \cdot 66}{9} = \frac{7 \cdot 22}{3} = \frac{154}{3} \)

\( 5868 - \frac{154}{3} = \frac{17604 - 154}{3} = \frac{17450}{3} \)

б) \( \frac{2^{11} \cdot 27^3 + 15 \cdot 4^5 \cdot 9^4}{6^9 \cdot 7} \)

Представим все числа в виде степеней простых множителей:

\[ 27 = 3^3 \]

\( 4 = 2^2 \)

\[ 9 = 3^2 \]

\( 6 = 2 \cdot 3 \)

Числитель:

\[ 2^{11} \cdot (3^3)^3 + 15 \cdot (2^2)^5 \cdot (3^2)^4 \]

\( = 2^{11} \cdot 3^9 + (3 \cdot 5) \cdot 2^{10} \cdot 3^8 \)

\[ = 2^{11} \cdot 3^9 + 3^9 \cdot 5 \cdot 2^{10} \]

Вынесем общий множитель \( 2^{10} \cdot 3^9 \):

\[ 2^{10} \cdot 3^9 (2 + 5) = 2^{10} \cdot 3^9 \cdot 7 \]

Знаменатель:

\[ (2 \cdot 3)^9 \cdot 7 = 2^9 \cdot 3^9 \cdot 7 \]

Теперь разделим числитель на знаменатель:

\[ \frac{2^{10} \cdot 3^9 \cdot 7}{2^9 \cdot 3^9 \cdot 7} = 2^{10-9} = 2^1 = 2 \]

Ответ: а) (ответ не получается целым числом, возможно, ошибка в условии); б) 2.