4. Сократите дробь \( \frac{21^n}{3^{n-1} \cdot 7^{n+2}} \), если n — целое число.

Решение:

1. Представим числитель как произведение степеней с основаниями 3 и 7:
   \[ 21^n = (3 \cdot 7)^n = 3^n \cdot 7^n \]
2. Подставим это в дробь:
   \[ \frac{3^n \cdot 7^n}{3^{n-1} \cdot 7^{n+2}} \]
3. Применим правило деления степеней с одинаковым основанием (вычтем показатели):
   \[ \frac{3^n}{3^{n-1}} = 3^{n - (n-1)} = 3^{n - n + 1} = 3^1 = 3 \]\[ \frac{7^n}{7^{n+2}} = 7^{n - (n+2)} = 7^{n - n - 2} = 7^{-2} \]
4. Объединим результаты:
   \[ 3 \cdot 7^{-2} \]
5. Представим отрицательную степень как дробь:
   \[ 3 \cdot \frac{1}{7^2} = \frac{3}{7^2} = \frac{3}{49} \]

Ответ: \( \frac{3}{49} \)