5. Упростите выражение \( \left(\frac{9a^{-2}}{7b^{-1}}\right)^{-2} \cdot \frac{3}{49}a^{-2}b \).

Решение:

1. Возведем дробь в степень -2:
   \[ \left(\frac{9a^{-2}}{7b^{-1}}\right)^{-2} = \left(\frac{7b^{-1}}{9a^{-2}}\right)^{2} \]
2. Возведем числитель и знаменатель в степень 2:
   \[ \frac{(7b^{-1})^2}{(9a^{-2})^2} = \frac{7^2 \cdot (b^{-1})^2}{9^2 \cdot (a^{-2})^2} = \frac{49b^{-2}}{81a^{-4}} \]
3. Применим правило отрицательной степени (перевернем числитель и знаменатель):
   \[ \frac{49b^{-2}}{81a^{-4}} = \frac{49}{81} \cdot \frac{a^4}{b^2} \]
4. Теперь умножим полученное выражение на вторую часть исходного выражения:
   \[ \frac{49}{81}a^4b^{-2} \cdot \frac{3}{49}a^{-2}b \]
5. Сгруппируем коэффициенты и переменные:
   \[ \left(\frac{49}{81} \cdot \frac{3}{49}\right) \cdot (a^4 \cdot a^{-2}) \cdot (b^{-2} \cdot b^1) \]
6. Упростим:
   \[ \frac{3}{81} \cdot a^{4-2} \cdot b^{-2+1} \]\[ = \frac{1}{27} \cdot a^2 \cdot b^{-1} \]
7. Представим отрицательную степень как дробь:
   \[ \frac{1}{27}a^2 \cdot \frac{1}{b} = \frac{a^2}{27b} \]

Ответ: \( \frac{a^2}{27b} \)