4. Сократите дробь \(\frac{a^{2\sqrt{3}} - b^{2\sqrt{3}}}{a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{3}}}\).

Решение:

Заметим, что числитель представляет собой разность квадратов, так как \( a^{2\sqrt{3}} = (a^{\sqrt{3}})^2 \) и \( b^{2\sqrt{3}} = (b^{\sqrt{3}})^2 \).

Используем формулу разности квадратов \( x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) \).

Пусть \( x = a^{\sqrt{3}} \) и \( y = b^{\sqrt{3}} \). Тогда числитель равен:

\[ (a^{\sqrt{3}})^2 - (b^{\sqrt{3}})^2 = (a^{\sqrt{3}} - b^{\sqrt{3}})(a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{3}}) \]

Теперь подставим это в дробь:

\[ \frac{(a^{\sqrt{3}} - b^{\sqrt{3}})(a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{3}})}{a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{3}}} \]

Сократим дробь на \( (a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{3}}) \), при условии, что \( a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{3}} \neq 0 \).

\[ a^{\sqrt{3}} - b^{\sqrt{3}} \]

Ответ: \(a^{\sqrt{3}} - b^{\sqrt{3}}\).