8. Найдите точки графика функции f(x) = x³ - 6x² + 12x, в которых касательная к нему параллельна оси абсцисс.

Решение:

Касательная к графику функции параллельна оси абсцисс, когда её угловой коэффициент равен нулю. Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке касания.

1. Найдем производную функции \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x \):
• \( f'(x) = (x^3)' - (6x^2)' + (12x)' \)
• \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 12 \)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки, где касательная параллельна оси абсцисс:
• \( 3x^2 - 12x + 12 = 0 \)
• Разделим уравнение на 3: \( x^2 - 4x + 4 = 0 \)
• Это полный квадрат: \( (x-2)^2 = 0 \)
• Отсюда \( x = 2 \).
3. Теперь найдем значение функции \( f(x) \) при \( x = 2 \) чтобы определить координаты точки:
• \( f(2) = 2^3 - 6(2)^2 + 12(2) \)
• \( f(2) = 8 - 6(4) + 24 \)
• \( f(2) = 8 - 24 + 24 \)
• \( f(2) = 8 \)

Таким образом, касательная параллельна оси абсцисс в точке \( (2; 8) \).

Ответ: \( (2; 8) \)