6. Решите неравенство log₂(9-x²) ≥ log₂(4x+4), учитывая область определения и свойство монотонности логарифмической функции.

Решение:

Для решения неравенства \( \log_2(9-x^2) \geq \log_2(4x+4) \) сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).

1. Аргументы логарифмов должны быть положительными:
• \( 9-x^2 > 0 \Rightarrow x^2 < 9 \Rightarrow -3 < x < 3 \)
• \( 4x+4 > 0 \Rightarrow 4x > -4 \Rightarrow x > -1 \)
2. Объединяя оба условия, получаем ОДЗ: \( -1 < x < 3 \).
3. Так как основание логарифма \( 2 > 1 \), функция \( y = \log_2(x) \) возрастающая. Следовательно, при \( \log_2(a) \geq \log_2(b) \) следует \( a \geq b \).
4. Перейдем от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов:
• \( 9-x^2 \geq 4x+4 \)
• \( 0 \geq x^2 + 4x - 5 \)
• \( x^2 + 4x - 5 \leq 0 \)
5. Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 + 4x - 5 = 0 \) с помощью дискриминанта:
• \( D = 4^2 - 4 x 1 x (-5) = 16 + 20 = 36 \)
• \( x_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 x 1} = \frac{-4 + 6}{2} = 1 \)
• \( x_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 x 1} = \frac{-4 - 6}{2} = -5 \)
6. Парабола \( y = x^2 + 4x - 5 \) ветвями вверх, поэтому \( x^2 + 4x - 5 \leq 0 \) при \( -5 \leq x \leq 1 \).
7. Теперь объединим полученное решение с ОДЗ:
• \( -1 < x < 3 \) (ОДЗ)
• \( -5 \leq x \leq 1 \) (Решение неравенства аргументов)
8. Пересечение этих интервалов: \( -1 < x \leq 1 \).

Ответ: \( (-1; 1] \)